…вещественной функции \(x\mapsto\cos\sqrt x\) — вся вещественная прямая.

Выйдя в чисто поле комплексные числа, можно это легко показать:

\[\cos\sqrt{-x} = \cos\left(\pm i\sqrt x\right) = \operatorname{ch}\sqrt x.\]

Кстати, синус корня таким свойством не обладает.