Аффинное пространство как груда

Не то чтобы следующая идея была нетривиальной или даже пришла ко мне внезапно и только что — нет, это было давно, и несколько раз она заявляла о себе, прежде чем я, наконец, понял, что стоит её описать здесь. Далее предполагается, что читатель в курсе хотя бы некоторых основ, нужных для понимания приведённых ссылок.

Обычно аффинное пространство определяется как множество, на котором транзитивно и свободно действует некое линейное пространство. В этом определении нет ничего плохого, но можно избавиться от линейного пространства, задав аффинное аксиоматически. Здесь поможет структура, известная как груда (heap). Она получается, если «забыть» нейтральный элемент группы, откуда её связь с аффинным пространством очевидна — это «коммутативная» груда \((A, [\cdot,\cdot,\cdot])\) с некоторой дополнительной структурой, связывающей её с некоторым полем \(K\). (В исходных терминах \([x,y,z] = x + \overrightarrow{yz}\equiv x-y+z\).)

Во-первых, коммутативность. Как и остальное в этом посте, она прозрачно выражается аксиомой \([x,y,z] = [z,y,x]\) (более подробные доказательства будут приведены в конце текста).

Во-вторых, нам потребуется аналог умножения на скаляр. В качестве него можно взять операцию \((o,\lambda,x)\mapsto o + \lambda\,\overrightarrow{ox}\) растяжения относительно точки, которую обозначим угловыми скобками. Преобразуем теперь аксиомы совместимости умножения и групповой структуры линейного пространства в аксиомы совместимости двух наших тернарных операций, добавляя и вычитая произвольные точки:

  1. \((\lambda\mu)\mathbf v = \lambda(\mu\mathbf v)\) даст
    \(\langle x,\lambda\mu, y\rangle = \langle x,\lambda,\langle x,\mu, y\rangle\rangle\);
  2. \(1\mathbf v = \mathbf v\) даст
    \(\langle x, 1, y\rangle = y\);
  3. \(\lambda(\mathbf u + \mathbf v) = \lambda\mathbf u + \lambda\mathbf v\) даст
    \(\langle x,\lambda, z\rangle = [\langle x,\lambda, y\rangle,y,\langle y,\lambda, z\rangle]\);
  4. \((\lambda + \mu)\mathbf v = \lambda\mathbf v + \mu\mathbf v\) даст
    \(\langle x,\lambda+\mu, y\rangle = [\langle x,\lambda, y\rangle,x,\langle x,\mu, y\rangle]\).

Весьма милые аксиомы получаются.

Теперь уж про коммутативность. В одну сторону, рассмотрим групповую операцию \(x*_ey = [x,e,y]\) на груде и получим \[x*_ey = [x,e,y] = [y,e,x] = y*_ex\text{ —}\] группа абелева. Обратно, определим для группы \([x,y,z] = xy^{-1}z\) и в абелевой группе будем иметь \[[x,y,z] = xy^{-1}z = \ldots = zy^{-1}x = [z,y,x],\] QED.

Пример доказательства утверждения \(\langle x,0,y\rangle = x\). Для этого нам понадобится одно из правил сокращения для груды: \([a,b,c] = [a,b,c’] \Rightarrow c = c’\), которое можно получить, заметив \([b,a,[a,b,x]] = x\). Итак, \[\langle x,0+0,y\rangle = [\langle x,0,y\rangle,x,\langle x,0,y\rangle].\] Но \(x = [\langle x,0,y\rangle,x,x]\), откуда и получаем требуемое. Немного длинновато, но механически строится по традиционному доказательству \(0\mathbf v=\mathbf0\).

Остаётся только добавить, что, так как для последних четырёх аксиом линейного пространства есть краткая формулировка (существует морфизм колец \(f\colon K\to \operatorname{End}(V)\), и \(\alpha\mathbf v := f(\alpha)(\mathbf v)\)), можно поискать аналогичную и для обсуждаемого определения аффинного, о чём я пока не думал; автоматически сюда оно не переносится.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

:) :D :( :E: ;) :yes: :no: :donno: more »