Архив рубрики: Математика

it is closed!

hello!
~( (a & b > c) | d > a > b > c | d )
((((a & b) > c) | d) & (a & (b & ~(c | d))))
try to close corresponding tableau...
it is closed!
((((a & b) > c) | d) & (a & (b & ~(c | d))))		[1]
(((a & b) > c) | d)		[2, from 1]
(a & (b & ~(c | d)))		[3, from 1]
1. ((a & b) > c)		[1, from 2′]
1. a		[2, from 3′]
1. (b & ~(c | d))		[3, from 3′]
1. 1. ~(a & b)		[1, from 1′]
1. 1. b		[2, from 3′]
1. 1. ~(c | d)		[3, from 3′]
1. 1. 1. ~a		[1, from 1′]
1. 1. 1. [x]
1. 1. 2. ~b		[1, from 1′]
1. 1. 2. [x]
1. 2. c		[1, from 1′]
1. 2. b		[2, from 3′]
1. 2. ~(c | d)		[3, from 3′]
1. 2. ~c		[4, from 3]
1. 2. [x]
2. d		[1, from 2′]
2. a		[2, from 3′]
2. (b & ~(c | d))		[3, from 3′]
2. b		[4, from 3]
2. ~(c | d)		[5, from 3]
2. ~c		[6, from 5]
2. ~d		[7, from 5]
2. [x]

Чему равно N?

Думаю, многие часто спрашивают себя: чему равно \(k\)? чему равно \(m\)? чему, наконец, равно \(N\)? Целые числа далеко не все простые, а многие даже откровенно загадочны. Но математика, выворачивавшаяся и не из таких передряг, смогла-таки (и даже в обход дебрей теории чисел, что уже восхищает!) найти ответ. И даже не один. Итак,

Чему равна длина последовательности \(a=(a_0,\ldots,a_{N-1})\)? Возьмите от него дискретное преобразование Фурье\[(\mathcal Fa)_m = \sum_{n=0}^{N-1} a_n e^{-i\tau mn/N}\]четыре раза. Результат будет равен исходной последовательности, покомпонентно умноженной на квадрат своей длины!

Чему равна размерность векторного пространства \(V\)? Она равна \(\operatorname{tr}\mathrm{id}_V\). Если поле скаляров конечное, размерность придётся искать обычным способом, хотя этот в некоторых случаях и даёт правильный ответ.

Чему равна степень многочлена \(P = a_0 + a_1x + \ldots + a_Nx^N\)? Степень равна (!) числу штрихов, после приписывания которых к выражению \(P’\) то станет равным нулю.

Некоторые вопросы о целых числах не так просты, и для этого есть OEIS.

Оригинальное чувство юмора имели люди, подготовившие книжку для инженеров с такой иллюстрацией:

Распутай сам

Фибоначчи, Haskell, O(log n)

(Внимание: дальше не написано ничего нового, но если вы не знаете о возведении в степень за \(O(\log n)\), можете чуть-чуть почитать.)

Не секрет, что числа Фибоначчи можно вычислить за экспоненциальное время, используя наивную рекурсию; за линейное время, используя более аккуратный способ; и даже за константное время, используя округление \(\frac{\phi^n}{\sqrt5}\) до ближайшего целого и скрещивая пальцы, что знаков хватит.

Так же не секрет, что, не используя floating point, можно обойтись и \(O(\log n)\) с помощью вычисления степени за \(O(\log n)\). Но всё равно опишу это.

Читать далее Фибоначчи, Haskell, O(log n)

Листая htmlbook.ru, наткнулся на другой проект его автора, сайт для тренировки устного счёта \(\mathrm{M\alpha th}{\pm}\).

Не знаю, как у меня с устным счётом, но высокий (там их три: высокий, широкий и глубокий) уровень сложности выглядит достаточно хорошим, если вдруг приспичит заставить себя заниматься этим… как его… хм, а куда делся тот сайт (или таблетки? Sm_donno.svg ) против этого… как он называется… хм